El reto de enseñar matemáticas con sentido

¿Y para qué sirven las matemáticas?

2011-09-04T00:14:00.000+02:00

En el cole los chicos y las chicas, en especial las/los pre- y las/los adolescentes suelen preguntar al profesor de matemáticas: ¿y eso para qué sirve? A veces, uno realmente no sabe bien qué responder y entonces podría decir, con un toque de ironía: por ahora sirve para que apruebes este curso, va bien?

Sin embargo, sabemos que la utilidad de las matemáticas va más allá del uso general que le damos el común de los mortales. Las derivadas, las integrales, la estadística y otro buen número de tópicos característicos de esta rama del conocimiento tienen mucho que ver en nuestras vidas, especialmente si somos usuarios frecuentes de las computadoras (u ordenadores, como se les conoce en España).

Stephen Baker, a propósito del tema tecnológico, dice: "Las únicas personas capaces de interpretar los datos [electrónicos] que generamos son los grandes matemáticos, científicos, e ingenieros informáticos. Ellos saben cómo convertir en símbolos los distintos fragmentos de nuestra vida"... Este autor, en su famoso libro Numerati (al que ya me referí en la última entrada) nos pone frente a ese nuevo horizonte increiblemente fascinante y a la vez terrorífico de las matemáticas y cómo a través de ellas alguién podría leernos, descifrarnos y conocer, por ejemplo, nuestros gustos como consumidores y, si lo quiere, otras muchas cosas más.

Lo anterior es sólo para ilustrar la utilidad de las matemáticas, en caso de que mañana ese alumno quisquilloso nos vuelva a hacer la misma pregunta de siempre. Claro, para llegar hasta allá, es necesario estudiar mucho, mucho y haber disfrutado, ya desde pequeños del estudio de esta ciencia hoy por hoy, casi "omnipresente". Casi (y por fortuna que así es), porque, de todas maneras, no podemos olvidar que un porcentaje considerable de la población mundial no tiene acceso a la red, o ni siquiera sabe cómo usar un computador, o mejor aún, ni siquiera a visto uno.

Por hoy lo dejamos aquí. Otro día seguimos, con otros datos curiosos, del mismo libro... quizá.

El poder de las matemáticas

2011-09-01T14:23:00.001+02:00

El profesor Ole Skovsmose y la profesora Paola Valero, ambos catedráticos de la Universidad Aalborg, han estudiado el poder de las matemáticas en la sociedad actual, su influencia en las desigualdades sociales, y la importancia de desarrollar desde la escuela un pensamiento crítico a través de esta ciencia. Sin embargo, sus interesantes investigaciones y sus valiosos aportes se quedan, muchas veces, en el mundo académico -al alcance de unos pocos- como suele ocurrir con un elevado porcentaje del conocimiento científico en cualquiera de sus ramas.

Por fortuna existen libros y documentos que pueden llegar a un público más amplio y con un lenguaje quizá más sencillo y, por que no, más ameno. Ese es el caso del libro titulado: Numerati, Lo saben todo de ti. del peridoista norteamericano Stephen Baker. En él, el autor nos muestra de manera muy amena, clara y además contundente el enorme poder que tienen los números y las matemáticas en nuestra vida diaria. Definitivamente, un libro apto para matemáticos, ingenieros, técnicos informáticos y cualquiera que tenga que ver con el intrincado mundo de los números; pero no sólo para estos gremios, también es un muy buen libro para sociólogos, historiadores, literatos y en fin, para cualquiera que le guste mucho la lectura (el título es lo de menos).

Los números y la justicia social...

2010-11-13T13:09:00.001+01:00

Recientemente he tenido la oportunidad de leer algunos datos algo escalofriantes -que quizá muchos ya conocen- y que muestran cómo los números nos interpelan y nos invitan a una reflexión cada vez más urgente y necesaria sobre la situación social y medioambiental de nuestro planeta.

Según datos del Banco Mundial más de 1.300 millones de personas viven por debajo del umbral de pobreza absoluta; 840 millones de personas padecen hambre, de las cuales 200 millones son niños y se calcula que unas 13 millones están condenadas a morir: casi 36000 al día, 1500 por hora, 25 por minuto, 1 cada 3 segundos...

Mientras todo esto sucede, los Estados Unidos -sólo por poner un ejemplo- invirtió en 2004 la suma nada despreciable de 455,300 millones de dólares en su gasto militar. Además se sabe que el 20% de la población rica del mundo consume el 86% de todos los bienes!! ¿No es absurdo?

En México, sembrar una hectárea de maiz puede costar al rededor de 1700 dolares. Este costo podría ser menor si las condicones ambientales fueran más estables. No obstante, hagamos cálculos pesimistas y digamos que sembrar una hectárea de maiz pudiese costar unos 2000 dolares (1460 euros). ¿Cuántas hectáreas de maiz podrían sembrase con esos 455,300 millones de dolares? Sólo por hacerse la pregunta más simple.

Ya sé que es una pregunta retórica y que ya muchos se la han hecho, pero no está de más repetirla y proponerla en una clase de matemáticas o de ciencias sociales... Puede hacerse el mismo ejercicio con siembra de papa, de zanahoria o de cualquier otra hortaliza u alimento indispensable... De todas maneras es importante que nuestros alumnos conozcan estos datos y que alentados por sus maestros y profesores hagan una reflexión crítica que los lleve a plantear algunas soluciones a esta problemática del mundo contemporáneo.

Hasta una próxima oportunidad!

Porcentajes de alumnado extranjero

2010-03-29T14:45:00.000+02:00

El reto de enseñar matemáticas con sentido: Porcentajes de alumnado extranjero

Porcentajes de alumnado extranjero

2010-03-29T13:38:00.003+02:00

Después de muchos días sin aportar ideas a este blog, aquí estoy de nuevo. Una vez más, como ya lo había prometido, con porcentajes.

El siguiente fragmento la he tomado del artículo titulado "Inmigración, educación y exlusión social", escrito por el profesor Antonio López Peláez en la Revista Sistema en el año 2005, quien a su vez cita un artículo de prensa, tal como lo especifico al final:

"En determinados colegios públicos el alumnado extranjero representa el 90 por 100 del total de los alumnos. Sin embargo, también existen datos que cuestionan la hipótesis que vincula un mayor número de inmigrantes con un menor nivel de rendimiento escolar. Así, en la prueba de nivel realizada en la Comunidad de Madrid en el curso académico 2004-2005 pueden constatarse «varios ejemplos de notas extraordinarias en centros con índices muy altos de inmigrantes. El más destacado fue el colegio público Jacinto Benavente, de Leganés. Allí estudian un 30,3 por 100 de inmigrantes, y la nota media del examen fue de 8,21... También puso como ejemplo el colegio público Alcalde de Mósteles, de Madrid, que quedo en el puesto 19°, donde el 37 por 100 de los alumnos es de origen inmigrante. La nota media en este colegio fue de 7,76." (tomado de: B. Lucas, Es falso que los colegios públicos con muchos inmigrantes sean peores. Artículo del diario El Pais, publicado el 1 de julio de 2005)

Con base en esta información, podemos plantear varios problemas matemáticos muy sencillos:

A) Si el número de inmigrantes del Colegio Benavente fuera 67, ¿cuántos alumnos en total tendría ese colegio?

B) Si en el colegio Alcalde de Móstoles hay 478 alumnos (un supuesto), ¿cuántos alumnos inmigrantes estudian allí?

C) Supongamos que el Colegio Benavente tiene 429 estudiantes. En ese caso:

- ¿Cuántos alumnos inmigrantes estudian en los dos colegios?

- ¿Cómo calcularías el porcentaje del alumnado inmigrante que estudia en los dos colegios?

- ¿Tienes la información suficiente para calcularlo? ¿Cuál es?

D) ¿Cómo hallar el dato real del número de alumnos? ¿Es posible? ¿Es un dato fácil de conseguir?

El reto de enseñar matemáticas con sentido: Reflexiones sobre educación

2010-03-24T00:08:00.000+01:00

Pensamientos sobre educación

Reflexiones sobre educación

2010-03-24T00:05:00.006+01:00

Nunca está de más leer, pensar y sacar nuestras propias conclusiones

Aquí van algunos pensamientos que iré enriqueciendo con los días:

"La felicidad es una puerta abierta hacia afuera".
Soren Kierkegaard.

"...la construcción de una ciudadanía activa, capaz de constituirse en sujeto de una democracia real, requiere sustantivamente de una educación de la facultad de juzgar críticamente [...] y el desarrollo de las posibilidades comunicativas y políticas". J. Osorio

El reto de enseñar matemáticas con sentido: Porcentajes en las aulas españolas

2010-03-08T15:05:00.001+01:00

Porcentajes en las aulas

Porcentajes en las aulas españolas

2010-03-06T02:15:00.005+01:00

Con la nueva perspectiva que me ha dado la investigación que ahora estoy desarrollando, veo lo importante que es salirse de los textos académicos con su retórica, por lo general, carente de significado, y encontrar que en el mundo real las matemáticas son una herramienta indispensable para interpretar los hechos.

En las últimas semanas he estado leyendo diferentes artículos relacionados principalmente con la educación y la exclusión social en España. Varios de esos artículos muestran porcentajes y cifras que permiten hacer, si se quiere, una "lectura matemática" de la realidad.

En un artículo del profesor Antonio López Peláez, publicado en Sistema en 2005, titulado: "Inmigración, educación y exclusión social", encontramos una frase que dice: "se constata que una mayor proporción de alumnos extranjeros por curso disminuye el número de aprobados, especialmente en primaria y en primer ciclo de secundaria; un porcentaje de extranjeros superior al 6 por 100 afecta negativamente al rendimiento académico del conjunto de los alumnos del aula". (p. 300)

Esta afirmación corresponde a un informe de 2005 de la Fundación BBVA y el Instituto de Estudios Autonómicos. El autor deja entrever que este dato puede no ser del todo correcto. De hecho, más adelante cita un artículo publicado en julio de 2005 en el diario el País, según el cual no es completamente cierto que los colegios con muchos inmigrantes tengan un peor rendimiento, y ofrece algunos datos que corroboran esta afirmación.

A lo que vamos... Sea cierta o no la conclusión que se presenta, creo que ese sólo párrafo puede servir de base para plantear algunos problemas "sencillos", para resolver en clase. Por ahora, doy tres ideas:

a) ¿En un grupo de 38 estudiantes, cuántos alumnos serían ese 6%? ... ¿El resultado es lógico? ¿Cuántos estudiantes son en realidad?... ¿Pueden 2 estudiantes "malos" afectar gravemente el rendimiento de todo un grupo?

b) Si tuviesemos un grupo con 9 estudiantes inmigrantes que representan el 15% del total, ¿cuántos alumnos tiene ese grupo?
Posibles preguntas para desarrollar el pensamiento crítico: ¿El resultado de este problema, corresponde a una situación real o ficticia? ¿Por qué lo crees? ¿Cómo te sentirías en una clase con esa cantidad de alumnos? ¿Es bueno o es malo para aprender un grupo de ese tamaño?... etc., etc. De esta manera, usamos las matemáticas para interpretar la realidad y para que nuestros estudiantes vayan formando sus propios criterios.

c) Para un público un poco más "inquieto" cabe preguntar: ¿Cómo podemos corroborar si esa afirmación es cierta o no? ¿Qué datos necesitaríamos? ¿Cómo los conseguimos? ... y otras preguntas más que despierten el espíritu investigativo de los estudiantes.

Bueno, por hoy ha sido suficiente... Espero que les sirva.

Las matemáticas y la cultura

2010-01-05T01:55:00.007+01:00

Esta noticia es del 26 de Noviembre de 2009 y la leí en la versión online del diario "El Pais", de España. Puedes leerla allá o acá... Es un tema que nos invita a pensar, abre nuevas puertas y nuevas perspectivas sobre la matemática en la escuela. Este artículo es sólo un "abre-bocas" sobre un tema de interés para todos los que estamos directamente involucrados con el tema de la educación.

Las matemáticas idenifican el peso del factor cultural en el aprendizaje

*Autor: Neus Caballer

En una clase de secundaria de Shanghai la demostración de un teorema matemático es igual que en Francia. Pero la rapidez de funcionamiento de la clase, la concentración de los alumnos y su agilidad en las respuestas, o la preparación y organización de los temas de cada sesión que realiza el profesor, no. "En la clase de Shanghai hay algo muy bien pensado, muy bien estructurado desde el punto de vista de la función docente y de la interacción del alumno con el profesor. No se observan muchas clases así en mi país", sostiene Michelle Artigue, presidente de la Comisión Internacional de Educación Matemática (IMIC) y catedrática de la Universidad de París VII. El "éxito" reside en "dos claves", según Artigue, "en el nivel de disciplina y concentración de los alumnos y en el trabajo que realizan después de clase. No es comparable con el de Europa".

Los estudiantes de algunos países del sudeste asiático (entre ellos, Corea, Taiwán o China) han superado con creces a sus homólogos del mundo entero en el campo de las matemáticas en estudios internacionales como TIMMS o PISA. Sin embargo, "este éxito no parece haber ido acompañado por las correspondientes actitudes positivas hacia las matemáticas", indica Frederic K. S. Leung, de la Universidad de Hong Kong y profesor corresponsable del estudio junto a Artigue. Es decir, los buenos resultados académicos no son proporcionales al volumen de estudiantes que después se dedicarán a las matemáticas.

Buscando explicaciones de estos "resultados" y "actitudes" de los alumnos se han examinado algunas características relevantes que se resumen en los resultados del TIMSS Video Study, que se analizaron el jueves y viernes en Valencia, de la mano de los principales expertos asiáticos y occidentales en educación matemática de Finlandia, China, Corea, Hungría, Nueva Zelanda, Taiwán, Hong Kong, EE UU, India y España reunidos en un congreso internacional sobre Los paradigmas de la educación matemática para el siglo XXI. El estudio concluye que "el éxito en los resultados y las actitudes que presentan los estudiantes del sudeste asiático no pueden atribuirse sólo a las peculiaridades del entorno o a la manera en que se imparten las clases en estos países". Por primera vez, "se han propuesto factores culturales como posibles explicaciones tanto de los resultados obtenidos como de las actitudes mostradas". Entre ellas, el valor de la disciplina, de la autoridad docente y de la educación como factor de promoción social, que priman en los países de tradición confuciana frente a los de la cultura judeocristiana, admite Artigue. Leung menciona "la importancia de la familia en el valor que se le da en China al aprendizaje escolar. Los padres ayudan a sus hijos en las tareas e invierten mucho dinero en clases".

La segunda conclusión es que "Asia no es uniforme", apunta Manuel de León, director del Instituto de Ciencias Matemáticas del CSIC. Una clase de matemáticas en Japón es más parecida a una en Francia o Alemania. "Hay que investigar más para entender cómo la cultura influencia la manera de aprender y enseñar la visión de las matemáticas. Porque, pese a que las matemáticas son un lenguaje universal, hay diferencias muy grandes, incluso entre los propios países europeos entre una clase de matemáticas en Inglaterra o en Francia", subraya Artigue.

Por el contrario, según Wei-Chi-Yang, el fundador de la Conferencia Asiática, el sistema coreano tiene también sus factores negativos. "Yo lo aprendí todo de memoria, por eso quiero ofrecer otras cosas a los alumnos. Y las Nuevas Tecnologías son un factor clave para la creatividad y la motivación". Chi-Yang confiesa que este sistema tan disciplinado de enseñanza resultó un lastre al realizar su tesis doctoral de forma individual, y lo es si no se enseña también a ser críticos. Aunque reconoce que sus resultados son mejores que los de los alumnos estadounidenses. Entre otras razones, porque casi el 50% de profesores estadounidenses ni siquiera tiene la especialidad de matemáticas o no han finalizado la asignatura de Cálculo. Mientras que en Corea, "aunque no tengo que enseñar cálculo, lo aprendo". "Creo que el nivel del profesorado es muy alto. Y están muy bien pagados".

En India, el país de los brahmanes, que están en la cima de la sociedad y son considerados unos eruditos, "la educación es un factor clave de promoción social". Pero también lo es el "factor demográfico", según Eva Borreguero, directora de programas educativos de Casa Asia. "En un país con 1.300 millones, estudiar es un privilegio: muchas veces se tienen que desplazar kilómetros para ir a la escuela, y las familias lo valoran mucho".

Luis Puig, de la Universidad de Valencia, sostiene que aunque los alumnos españoles según los informes PISA de 2003 y 2006 aparecen en el furgón de cola en Matemáticas, Ciencias y Lectura, "la realidad no está tan mal". Porque, al contrario que los asiáticos que suben la nota porque tienen una media muy alta de buenos alumnos, lo que neutraliza a los muchos malos, en España el sistema es más equitativo y no se acentúan tanto las diferencias. Aunque insiste en la necesidad de "un pacto de Estado", que libere a las leyes educativas de los vaivenes políticos, otorgue estabilidad y se revaloricen la escuela y la función docente.

Un currículo común

"La creatividad no se obtiene con ejercicios memorísticos", sostiene Wei-Chi-Lang, que fue muy crítico con el sistema coreano, pero que defiende que las "matemáticas" tanto en Corea como en China son "una asignatura privilegiada". Se ha pasado del uso de las calculadoras científicas en clase a la generalización de los ordenadores e Internet. Aunque abundan las desigualdades por regiones. En Francia, desde 2004 se ha incluido la competencia tecnológica en el examen oral de los futuros profesores. Pero el ordenador es sólo el principio. "La gente confía en la máxima de Confucio, si le das a un hombre un pescado, le das comida para un día. Pero si le enseñas a pescar, comerá toda la vida". En matemáticas funciona igual: "Si se memoriza una fórmula se aprueba un examen; si se entiende se pueden descubrir muchas matemáticas", concluye Chi-Lang. En esa dirección caminan el Proyecto Klein, que dirige el neozelandés Bill Barton, para crear un "currículo común de 300 páginas" para que los profesores combinen conocimiento, creatividad y nuevas tecnologías. Y el proyecto europeo Intergeo, de recursos en red, que se presentará en dos semanas.

Pensamiento crítico en educación

2009-05-31T01:41:00.008+02:00

El pensamiento crítico en educación

Desde hace poco más de dos décadas, filósofos y pedagogos vienen enfatizando sobre la necesidad y la importancia de enseñar a los estudiantes de cualquier nivel a pensar de manera crítica, pues sólo así podrán dar respuestas más asertivas a los problemas reales del mundo moderno.

En la actualidad es fácil encontrar una gran cantidad de literatura sobre pensamiento crítico e incluso existen asociaciones o grupos académicos reconocidos que se dedican a estudiar, profundizar y proponer nuevas ideas. Un punto complejo en el estudio del pensamiento crítico es que existe más de una definición sobre este concepto, pero no obstante la variedad, en todas las definiciones es posible encontrar ideas similares que de una u otra manera se sobreponen o se complementan. Autores como Lipman (1998), Zechmeister (1992), R. Ennis (1962) y O. Skovsmose (1994) muestran que más allá de una simple definición conceptual, es fundamental determinar cuáles son o deben ser las características de un pensador crítico. Y esto tiene mucho sentido desde la perspectiva educativa donde lo importante ya no debe ser la simple adquisición del conocimiento sino la formación integral de la persona. De todas las definiciones que pueden encontrarse, quizá la más completa sea la de Peter A. Facione (1) y sus colaboradores, la cual dice:

“Entendemos por pensamiento crítico, un pensamiento propositivo, capaz de autorregularse al emitir juicios, lo que implica desarrollar habilidades de interpretación, análisis, evaluación e inferencia… El pensador crítico ideal es una persona habitualmente inquisitiva; bien informada, que confía en la razón; de mente abierta; flexible; justa cuando se trata de evaluar; honesta cuando confronta sus intereses personales; prudente al emitir juicios; dispuesta a reconsiderar y si es necesario a retractarse; clara respecto a los problemas o las situaciones que requieren la emisión de un juicio; ordenada cuando se enfrenta a situaciones complejas; diligente en la búsqueda de información relevante; razonable en la selección de criterios; enfocada en preguntar, indagar, investigar; persistente en la búsqueda de resultados tan precisos como las circunstancias y el problema o la situación lo permitan”.

El postulado es bastante amplio y logra responder de manera clara y detallada a la pregunta sobre qué es el pensamiento crítico. Si –al decir de Habermas- rumiamos esta definición, no resultaría arriesgado afirmar que a partir de ella podría elaborarse toda una teoría pedagógica y construir un nuevo currículo escolar que promueva una sólida preparación, formación y educación de los hombres y las mujeres que el día de mañana tendrán la impostergable misión de transformar la sociedad, aportando soluciones asertivas a los problemas más apremiantes del mundo moderno. Obviamente esta formación básica de los educandos no puede limitarse al desarrollo del pensamiento crítico como único objetivo, sino que éste debe reforzar los demás aspectos fundamentales de la educación como son el aprender a aprender, aprender a hacer, aprender a convivir y aprender a ser.

Ahora surge otro interrogante: ¿y cómo desarrollar el pensamiento crítico en el aula? Seguramente es posible encontrar una buena variedad de metodologías y estrategias que den respuesta a esta pregunta crucial, pero también es cierto que aún queda mucho por hacer a este respecto. Como no existe y no debe existir una única manera de desarrollarlo, es necesario primero centrarse en algunos puntos básicos que nos ayuden a generar nuestra propia estrategia. Estos puntos son: por una parte los factores que favorecen el pensamiento crítico y por otra las habilidades que lo caracterizan. Con base en estos dos aspectos podemos entonces elaborar diversas estrategias e incluso una metodología que propicie el hábito de pensar con criterio por parte de nuestros estudiantes.

De acuerdo con Russel Fazio, son cinco los factores determinantes que fortalecen la actitud hacia un pensamiento crítico (Leader, 2000):

1) Experiencia directa: es decir tener ocasiones que permitan una experiencia directa y conciente del uso del pensamiento crítico;

2) Experiencia sensorial: se refiere a involucrar el uso de algunos o de todos los sentidos para detectar situaciones en las cuales sea necesario dar una solución a algún problema del mundo real.

3) Reacciones emocionales: aprender a detectar las propias reacciones emocionales hacia esas situaciones, lo cual significa que no es necesario inhibirse ante las emociones y que tener un pensamiento crítico no implica necesariamente ser una persona fría y calculadora.

4) Capacidad para elegir libremente: implica tener un comportamiento y una actitud tales que permitan siempre elegir en plena libertad –sin dejarse influir por presiones externas- la solución que se considere más apropiada, de acuerdo con los propios criterios.

5) Poner la actitud en práctica: lo que significa involucrase con regularidad en actividades que permitan poner en práctica las disposiciones del pensamiento crítico, teniendo siempre presente que mientras más se usen, más se fortalecen.

Por otra parte, como ya lo mencionamos anteriormente, están las habilidades del pensamiento crítico que de acuerdo con la definición dada por Facione serían: interpretación, análisis, evaluación, e inferencia. Sin embargo, no son las únicas. Es muy importante aclarar en este punto que no hay un consenso definido entre los teóricos en lo referente a sus habilidades o características esenciales. Incluso para muchos el pensamiento crítico es en sí una habilidad con características particulares. Para todos es claro, eso sí, que estas habilidades son todas de orden superior, pero cada autor ofrece sus propias características que se superponen y se complementan unas a otras.

Para algunos autores las habilidades del pensamiento crítico corresponden a las de nivel superior de la taxonomía de Bloom. El informe Delphi, por ejemplo, hace una revisión de seis habilidades: las cuatro que aparecen en la definición de Facione (que provienen de la taxonomía de Bloom) más las habilidades de explicación y auto-regulación. Lipman, autor del modelo pedagógico “Filosofía para Niños”, habla de cuatro criterios o características fundamentales del pensamiento crítico: 1) uso de criterios particulares, 2) formulación de juicios, 3) auto-corrección y 4) sensibilidad al contexto (Daniel, Lafortoune, Pallascio, Splitter, Slade & de la Garza, 2005). Robert Ennis (1962), por otra parte, expone una lista de 12 aspectos esenciales del pensamiento crítico relacionados con la correcta valoración de las afirmaciones o enunciados sean propios o ajenos. Una tarea por hacer en este campo podría ser la de elaborar una lista detallada de las habilidades o características del pensamiento crítico que puedan estar más directamente relacionadas con el aprendizaje de las matemáticas. La única habilidad o característica que aparece, en la mayoría de los estudios, como un componente fundamental del pensamiento crítico es la de la metacognición (pensar o reflexionar sobre el propio pensamiento).

Desde el punto de vista de la praxis educativa, es primordial que el docente tenga en sí mismo la actitud y la disposición para promover en su clase el desarrollo del pensamiento crítico o de alguna de sus habilidades. Perkins y Tishman, afirman que no basta con tener cierta disposición a pensar críticamente, es necesario también desarrollar una sensibilidad particular para detectar las diversas ocasiones en las cuales el individuo puede usar sus habilidades de pensamiento crítico y en cuanto más las use, más se agudizan y se fortalecen (Leader, 2000). Una estrategia básica –aparentemente simple- pero imprescindible que favorece el desarrollo de este tipo de pensamiento es la forma como el profesor o profesora se comunican con los estudiantes y el tipo de preguntas que formulan bien sea para aclarar conceptos o para facilitar el aprendizaje de un nuevo tema o para encontrar la solución a un problema específico sea del área que sea.

Notas:

(1) Definición traducida de Jackson, L. (2000).

(2) Según aparece en el documento “Recursos para promover en el aula el desarrollo del pensamiento crítico” elaborado por Eduteka.org. El informe Delphi es el resultado de un proyecto de dos años llevado a cabo por “The Critical Thinking Movement” que pretendía lograr un consenso entre expertos sobre qué es el Pensamiento Crítico. Dicho informe sigue siendo un punto de referencia sobre el tema. Para confrontar, puede consultarse la página web: http://www.insightassessment.com/dex.html

Bibliografía principal consultada:

* Daniel, M., Lafortune, L., Pallascio, R., Splitter, L., Slade, C., De la Garza, T. (2005). Modelling the development process of dialogical critical thinking in pupills aged 10 to 12 years. Comunication Education, 54:4, 334-354

* Eduteka. Recursos para promover en el aula el desarrollo del pensamiento crítico. Documento elaborado por EDUTEKA, tomando como base las destrezas intelectuales para el pensamiento crítico identificadas por el consenso de expertos publicado bajo el título de The Delphi Report. Consultado el 26/03/2008 en: www.eduteka.org/PensamientoCriticoAula.php

* Ennis, Robbert H. (1962). A concept of critical thinking. Harvard Educational Review, 32:1, 81-111.

* Jackson, L. (2000). Increasing Critical Thinking Skills to improve problem-solving ability in mathematics. Master of Arts Action Research Project, Saint Xavier University. Chicago, Illinois.

* Leader, L. F. & Middleton, J. A. (2004). Promoting Critical-Thinking Dispositions by Using Problem Solving in Middle School Mathematics. Research in Middle Level Education Online, 28(1). Consultado el 24 de marzo de 2008, en: http://www.nmsa.org/Publications/RMLEOnline/ tabid/101/Default.aspx

* Lipman, Matthew (1998). Pensamiento complejo y educación. Segunda Edición. Ediciones de la Torre. Madrid.

* Schafersma, Steven D. (1991). An introduction to critical thinking. Consultado el 9/03/2009, en: http://www.freeinquiry.com/critical-thinking.html

* Zechmeister, E. & Johnson, J (1992). Critical Thinking. A Functional Approach. Brooks/Cole Publishing Company. Pacific Grove, California.

¿Cuántos ejercicios son necesarios?

2008-05-17T16:52:00.014+02:00

- Hijo debes hacer tu tarea de matemáticas... - No quiero mamá, ¿por qué debo hacer tantos ejercicios? Yo ya entendí el tema, es muy fácil... - Si no practicas, mañana ya no sabras cómo hacerlo. ¿Pero en realidad, cuántos ejercicios son necesarios para que un estudiante aprenda y comprenda cada tema que vemos en clase? La respuesta será diferente para cada estudiante y depende en parte de su propia "inteligencia matemática". Aquí entonces surgen otras preguntas ¿Cómo aprenden nuestros estudiantes? ¿Puede un adolescente o un niño o una niña saber cuál es el grado de su inteligencia matemátca? En principio la respuesta a esta pregunta puede ser intuitiva. Lo importante, creo yo, es que cada estudiante llegue a ser realmente consciente sobre su forma de aprender, lo cual implica desarrollar en cada uno (o en cada una) una metacognisción matemática.

La matemática como lenguaje

2008-05-12T14:27:00.004+02:00

La matemática no es simplemente una ciencia exacta, es un lenguaje a través del cual también podemos expresar nuestras ideas. La matemática al igual que una lengua tiene signos, símbolos y reglas que permiten expresar nuestras ideas de una manera singular. ¿Por qué nuestros estudiantes no logran siempre expresarse en forma coherente y clara? No es simplemente un problema de "no tener apitudes para escribir", es un problema más de fondo, un problema al que deberíamos darle respuesta desde un enfoque pedagógico que integre las matemáticas y el lenguaje. Estoy convencido que la matemática y el lenguaje permiten ambos, desde perspectivas diferentes, estructurar el pensamiento. Mientras más claras podamos expresar nuestras ideas, por escrito o de la manera que se quiera, mejor. ¿Qué opinas tú?

¿Cuál es el singificado de los números enteros?

2008-05-12T14:25:00.009+02:00

Estos señores "los números enteros" son algo quisquillosos y no quieren juntarse con el cero, lo han dejado por fuera porque él no se va ni a la derecha ni a la izquierda y no es un asunto de ideas políticas, sólo es cuestión de dirección. Es más, estos numerillos también suelen ubicarse, según el signo, hacia arriba o hacia abajo. Los enteros positivos se creen muy importantes por ser más antiguos y porque son amigos de casi todos los mortales. Los enteros negativos en cambio... no tienen tantos amigos. Algunos, de hecho, los odian porque no los entienden, pero ellos siguen tan campantes. Saben que igual los seguiran aceptando y apreciando en ciertos círculos matemáticos y académicos donde a la gente le gusta discutir sobre las multiplicaciones y divisiones entre signos... ¿Pero alguien les ha dicho a los "sufridos estudiantes" de dónde vienen los números negativos? ¿Quién, además de los profes de matemáticas, utiliza estos números para ganarse la vida? ¿Para qué y cómo los utilizan? Si tienes respuestas interesantes a estas preguntas, no dudes en escribir. Una pregunta peligrosa: ¿tiene sentido enseñar a nuestros estudiantes estos números enteros negativos? ¿si definitivamente es necesario, cómo podemos acercarlos a su realidad? Una aclaración importante: yo creo firmemente que, al menos este tema, no debemos quitarlo del programa de matemáticas, pero... ¿cómo enseñarlos con sentido y significado a los estudiantes que tantas veces nos preguntan: y ésto para qué sirve? Creánme, yo aún no tengo una respuesta que me convenza.